下文是节选自 [遇见数学] 发布过的《「图解线性代数」-以动画方式轻松理解线性代数的本质与几何意义》一文.
线性变换是线性空间中的运动, 而矩阵就是用来描述这种变换的映射, 可以这样说矩阵的本质就是映射!
这样说还是没有直观印象, 所以还是直接看图解的动画吧.
矩阵不仅仅只是数值的表:
其实表示了在该矩阵的作用下, 线性空间是怎样的变化, 观察下图二维平面中水平和垂直方向的伸缩过程:
从上面动画中可以观察到:
- 垂直方向并没有发生任何变换(A 的第二列没有变化);
- 水平方向伸展了 2 倍;
- 浅红色方格在变换后面积变成了原来的 2 倍,这里其实就是行列式的意义 – 面积的扩张倍率 Det(A)=2
再看到更多矩阵变换之前, 先停下来看看下面静态图片的进一步解释:
变换前矩阵的基底向量 i (1,0) 移动到了 (2,0) 的位置, 而 j 基底向量 (0,1) 还是 (0,1) 没发生任何变换(移动) – 也就是基底的变化:
一旦明白了基底的变化, 那么整个线性变换也就清楚了 – 因为所有向量的变化都可以由改变后的基向量线性表出. 观察下面红色向量(1, 1.5) 和 绿色向量(-1, -3) 变换后落脚的位置:
向量 (1, 1.5) 在变换后的位置, 其实就是变换后基向量的线性表示, 也可以看到矩阵的乘法是如何计算的:
类似对于(-1, -3) 变换后的位置 , 也是一样的计算方法:
可以再次观察上面动画来体会, 验证算出的结果.
下面再看其他的变换矩阵
这里矩阵 A 的对角线中(0,2)含有一个 0 的情况, 观察下面动画 :
可以看到:
- 水平方向变为 0 倍;
- 垂直方向被拉伸为 2 倍;
- 面积的变化率为 0 倍, 也就是 Det(A) = 0;
基底的变化如下:
再看看下面这个矩阵 A 的变换:
可以看到:
- 整个空间向左倾斜转动;
- 面积放大为原来的 Det(A) = 3.5 倍;
上面在 3 个不同的矩阵作用下(相乘), 整个空间发生不同的变换, 但是原点没有改变, 且直线依然还是直线, 平行的依然保持平行, 这就是线性变换的本质.
类似, 在三维线性空间内, 矩阵也用于这样的线性变换, 需要注意的是这里行列式可以看成经过变换后体积变化的倍率. 观察下图, 经过下面矩阵 A 的变换中, 空间会经过镜像翻转变换(扁平化为线), 所以行列式的值会是负数.
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