大家好！今天老黄要利用拉格朗日中值定理来证明两个比较重要的不等式，这两个不等式在以后的学习中可能会用到，所以一定要把它们理解并且记起来哦。这两个不等式分别如下：
(1)(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a, 其中0<a<b；(2)h/(1+h^2)<arctanh<h, 其中h>0.
第一个不等式可以理解为：假分数的自然对数，大于1减去这个假分数的倒数，小于这个假分数减去1。当然，这里的b/a未必就是 分数，它还有可能是一个无理数。我们这样说，只是为了记忆起来方便罢了。
观察这个不等式，中间的自然对数可以写成：两个自然对数的差lnb-lna。因此，我们可以考虑取自然对数为辅助函数，而自然对数函数在[a,b]上是连续的，在(a,b)上是可导的，这就符合拉格朗日中值定理的条件了。
从而知道在(a,b)上存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)，而lnx的导数是1/x，所以f'(ξ)=1/ξ, 从而有(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ. 又1/b<1/ξ<1/a，所以1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a, 不等式同时乘以(b-a)，就可以得到(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a. 第一个不等式证明过程如下：
(1)证：ln(b/a)=lnb-lna；
记f(x)=lnx, 则f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)上可导,
由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ∈(a,b)，使得
f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ,
又1/b<1/ξ<1/a，所以1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a,
所以(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a.
第二个不等式可以理解为：正数的反正切函数值小于正数本身，又大于1加上这个正数的平方分之这个正数。用自己的语言说一说，能够有效地帮助理解和记忆。
这次我们要构造的辅助函数是反正切函数。它在[0,h]上连续，在(0,h)上可导，因此根据拉格朗日中值定理就可以知道，在(0,h)上存在一个点ξ，使得f'(ξ)=(arctanh-arctan0)/(h-0)=arctanh/h. 又反正切函数arctanx的导数为1/(1+x^2)，所以f'(ξ)=1/(1+ξ^2). 而1/(1+h^2)<(1+ξ^2)<1, 所以1/(1+h^2)<arctanh/h<1, 两边同时乘以h，就可以得到要证明的不等式了。第二个不等式证明过程如下：
(2)证：记f(x)=arctanx, 则f(x)在[0,h]上连续, 在(0,h)上可导,
由拉格朗日中值定理知，存在一点ξ∈(0,h)，使得
f'(ξ)=arctanh/h=1/(1+ξ^2).
又1/(1+h^2)<(1+ξ^2)<1, 所以1/(1+h^2)<arctanh/h<1,
所以h/(1+h^2)<arctanh<h.
我们不仅要记住这两个不等式，还要理解它的证明过程哦。
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