高中数学有一类常见问题:数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,令cn=an·bn,要求数列{cn}的前n项和Sn.
通常,老师会讲用错位相减法来做(错位相减法在等比数列求和公式推导时已经学过),过程如下:
这种方法需要列的算式长,要做一次等比数列求和,特别是最后的化简整理比较复杂,常常容易出错。但大多数学生只知道这个方法。
下面分享一种新的解法,通过待定系数法来重新构造cn,然后实现“裂项相消”。
先看一个例题:
第一问这里就不说了,求出an=3^(n-1).
第二问如果用错位相减法,是这样的:
而如果用我们现在要讲的解法:
这么简单?!
那这种方法是只适用于这道题目呢,还是对等差乘等比数列求和这类问题都可以用?
我们仔细来看下构造这一步的详细过程。
相信你已经看明白了,只要{an}是等差数列,就一定可以像图中一样用待定系数法进行构造,使cn变成一个新数列{dn}的相邻两项之差。
对于上面这个例题,dn=(n-1)3^n,
n≥2时,cn=dn-d(n-1),
c1=1,c2=d2-d1,c3=d3-d2,……
那对cn求和就相当于裂项相消了:
Sn=c1+c2+c3+……+cn
=1+d2-d1+d3-d2+……+dn-d(n-1)
=1-d1+dn=1-0+(n-1)3^n=(n-1)3^n+1.
为了讲解清晰,我们把运算过程完全展开了,实际上步骤并不复杂。
相比错位相减法,我认为这个方法是有优势的,你掌握了吗?