数列从第二项起,每一项与它前面一项之差都相等,这个数列就叫做等差数列,这个相等的差叫做这个等差数列的公差。
1.基本公式
等差数列的第一项称为首项,最后一项称为末项,第n项用an表示,前n项之和应Sn表示。作为等差数列的4个基本要素,首项、末项项数和公差之间存在等量关系,只要知道其中任意3个,根据等差数列的基本公式就能计算出第4个。
如下表所示,每个公式的已知量和未知量不同,解题时要根据题干给出的条件选出合适的公式,才能提高计算速度。
通项:
an=首项+(n-1)X公差
公差:
公差=(an-am)/(n-m)
项数:
项数=(末项-首项)/公差+1
对称:
an+am=ap+aq,其中m+n=p+q
平均数:
平均数=(首项+末项)/2
项数为奇数时,平均数=中项(位于数列中间位置的项)
项数为偶数时,平均数=中间两项之和/2
2.求和公式
等差数列求和是数学运算中的常考知识点。如下表所示,求和公式一般包括一般求和、中项求和、平均数求和。
一般求和:
Sn=nx首项+{nx(n-1)/2}x公差
中项求和:
Sn=中项x项数
平均数求和:
Sn={(首项+末项)/2}x项数=平均数x项数
注意要从题干中找出描述等差数列的词语。
根据已知条件选择适当的公式进行计算。当数列为奇数时,优先考虑中项求和公式;已知首项和末项,优先考虑平均数求和公式。