初中同学熟悉的韦达定理不仅刻画了一元二次方程根与系数的关系，还有一个应用，即可以推导出二次三项式的因式分解公式。
韦达定理的妙用
我们知道一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0，b²-4ac≥0)的两个实数根是
又由韦达定理，有
即我们得到下面的结论：
定理 若ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x₁和x₂，那么ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) .
上面的定理给出了二次三项式的因式分解公式，我们用它来解答一道例题。
例1 分解因式3x²-2x-4.
解 解方程3x²-2x-4=0，得
能不能修改题目，让方程有两个整数解？当然可以，介绍一个定理：
一元二次方程ax²+bx+c=0（其中a≠0，a,b,c均为整数）（*）有两个整数解的充要条件即是：
【定理】方程（*）有两个整数解的充要条件是：
b²-4ac=m²（m是整数），且b，c均能被a整除。
举个例子，把例题1修改为3x²-9x+6，那么方程3x²-9x-6=0就有两个整数解1和2，根据我们前面的因式分解公式，分解结果如下：
3x²-9x+6=3(x-1)(x-2)
上面介绍的方法不仅可以分解一元二次三项式的因式，有时也可以用来分解二元二次多项式的因式。接下来我们再来看一道例题。
一题多解(解题方法拓展)
例2 分解因式x²-2xy-3y²-x+7y-2.
解法一(公式法) 将题目中的x看作未知数，y看作已知数，整理得
x²-(2y+1)x-3y²+7y-2
令x²-(2y+1)x-3y²+7y-2=0
解方程得
例题2除了可应用前面介绍的公式进行分解，还有两种解法。
解法二(两次十字相乘法)
我们把x²-2xy-3y²看成二次项，用十字相乘法把它分解因式，得
x²-2xy-3y²-x+7y-2
=(x-3y)(x+y)-x+7y-2
在草稿纸上画十字线，像乘号“×”一样的十字线，左上标注x，左下标注x，右上标注-3y，右下标注y。画图省略，读者自己在草稿纸上画。(把-3y²看作常数项)
把上式(x-3y)(x+y)-x+7y-2中的(x-3y)(x+y)看作二次项，-x+7y看作一次项，-2看作常数项，再次使用十字相乘法分解因式，得
x²-2xy-3y²-x+7y-2
=(x-3y)(x+y)-x+7y-2
=(x-3y+1)(x+y-2)
在草稿纸上画十字线，像乘号“×”一样的十字线，左上标注x-3y，左下标注x+y，右上标注1，右下标注-2。画图省略，读者自己在草稿纸上画。
解法三(待定系数法)
待定系数法是非常重要的数学思想方法，请大家仔细体会以下解题过程。
令
x²-2xy-3y²-x+7y-2=(x+py+q)(x+my+n)
=x²+(p+m)xy+(p+m)y²+(n+q)x+(pn+qm)y+qn
比较两边同类项系数，得
p+m=-2
pm=-3
n+q=-1
pn+qm=7
qn=-2
∴
p=-3
m=1
q=1
n=-2
或
p=1
m=-3
q=-2
n=1
故有
x²-2xy-3y²-x+7y-2=(x-3y+1)(x+y-2)
接下来请看今天的课堂作业：
练习
分解下列多项式的因式：
1. 2x²-7x+4
2. 4x²-4xy-3y²-4x+10y-3
3. 3x²-7xy-6y²+xz+8yz-2z²
在三张图片之后，我们公布课堂作业的答案。
现在公布答案。
第一题的答案见下图：
- (2x-3y+1)(2x+y-3)
- (x-3y+z)(3x+2y-2z)
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